Klassekampen.no
Fredag 16. mars 2018
MÅLING
Norske­kystens lange linjer
UTDATERT: Kartet av Vest- og Sør-Norge er hentet fra en engelsk versjon av en bok signert dansk-norske Erik Pontoppidan (1698–1764).
SCALE: I boka «Scale» beskriver forfatter Geoffrey West hvordan multigeniet Lewis Fry Richardson snublet over et til da uoppdaget mate matisk fenomen.
Livet

Vi tar for oss moderne fenomener, historie og vitenskap.

Hvor lang er egentlig Norges kyst? ­Ifølge en britisk pasifist og en polsk-fransk matematiker er det vanskeligere å svare på enn man skulle tro.

I 2011 rapporterte flere norske medier en overraskende nyhet: Norges kyst hadde blitt 18.000 kilometer lengre. Den enorme økningen hadde opphav i nye tall gitt ut av Statens kartverk. Etaten hadde nettopp ferdigstilt et stort nytt prosjekt der Norges kyst hadde blitt tegnet i sin helhet med felles standard.

Inntil 2011 hadde den offisielle lengden på Norges kyst vært 85.000 kilometer, men det var altså blitt revidert til 103.000 kilometer, som tilsvarer to og en halv gang rundt ekvator.

Hvordan kunne Norges kystlinje øke med så mye som 18.000 kilo­meter, en lengde tilsvarende avstanden fra Norge til New Zealand?

En av dem som jobbet med Kartverkets prosjekt og som tegnet en ny kystkontur i 2011, var Martin Egger. Han støtte på fenomenet med den økende lengden på kystlinja flere ganger, blant annet da han skulle måle lengden på en menneske­skapt steinmolo.

– Denne moloen, som i utgangspunktet var omtrent femti meter lang, ble doblet i lengde i den nye målingen. Det var akkurat den samme moloen, den hadde ikke blitt bygd ut eller noe sånt, forteller Egger.

Fakta:

• I 2011 endret Statens kartverk den offisielle lengden på Norges kyst fra 85.000 kilometer til 103.000 kilometer.

• De nye metodene for måling av kysten baserer seg på en oppdagelse gjort av britiske Lewis Fry Richardson.

• Richardsons oppdaget at landegrenser ble lengre og lengre jo mer nøyaktig du målte.

En obskur artikkel

For å forstå hvorfor kysten plutselig ble så mye lengre, må vi tilbake til en obskur tidsskriftartikkel fra 1961 og en oppdagelse gjort av det britiske universalgeniet Lewis Fry Richardson, beskrevet i boka «Scale» av Geoffrey West.

Richardson ble født i 1881 og tilhørte en generasjon der de fleste endte opp med å tjenestegjøre i første verdenskrig. For Richardson var dette imidlertid umulig, ettersom han var kveker og dermed en hellig overbevist pasifist. I årene før krigen hadde Richardson jobbet med værmelding i The British Meteorological Office, men følte seg tvunget til å slutte i jobben da kontoret i løpet av krigsårene ble lagt under The Air Ministry og dermed ble nært knyttet til flyvåpenet.

Til tross for sitt åpenbare talent fikk ikke Richardson noen akademisk stilling i de påfølgende årene fordi han ikke hadde tjenestegjort i krigen. På egen hånd, og med utgangspunkt i sin pasifistiske overbevisning, gikk Richardson i gang med det han håpet skulle bli hans magnum opus: en kvantitativ teori som kunne forklare hvorfor krig brøyt ut.

Lewis Fry Richardson mistenkte nemlig at faktorer som kunne tallfestes – blant annet antall våpen og hvor raskt nasjoner rustet opp – kunne forklare hvordan kriger begynte og fortsatte.

En av teoriene han jobbet ut ifra, var at lengden på grensa mellom land kunne påvirke sannsynligheten for at de gikk til krig.

Men da han begynte å samle inn data om grenselengder rundt om i verden, støtte han på et merkelig problem: Lengdene på landgrensene varierte voldsomt avhengig av hvilken kilde han gikk til. Grensa mellom Spania og Portugal ble et sted oppgitt som 987 kilometer lang, men i et annet oppslagsverk sto det 1214 kilometer. Grensa mellom Nederland og Belgia var tilsynelatende enten 380 kilometer eller 449 kilometer lang. På denne tida var landmåling allerede godt etablert som en nøyaktig vitenskap, og det var derfor lite trolig at målefeil på flere hundre kilometer kunne være årsaken.

Ukjent matematisk fenomen

Svaret på gåten var dette: Richardson hadde snublet over et til da uoppdaget matematisk fenomen.

Inntil Richardson begynte sine undersøkelser, ble logikken i å måle en lengde antatt å være en selvfølge: Hvis du skal måle en lengde, for eksempel et spisebord, tar du fram et metermål og måler. Metermålet tilsier kanskje at bordet er omtrent to meter langt. Hvis du vil vite lengden mer nøyaktig, bruker du en mer nøyaktig linjal som måler i centimeter. Da får du en måling som kanskje sier at lengden er omtrent 2,32 meter. Om du øker nøyaktigheten til millimetermål, må du kanskje revidere målinga til noe sånt som 2,325 meter.

Slik kan du ta mer nøyaktige mål, og lengden endte i ett tall. Denne intuisjonen – jo mer nøyaktig du måler, jo nærmere vil du komme den nøyaktige lengden – ble antatt å holde for alle lengder, for eksempel lande­grenser og kystlinjer.

Det Richardson oppdaget, var imidlertid at landegrenser ble lengre og lengre jo mer nøyaktig du målte.

Snirklete og svingende

Om man tenker seg om, er årsaken egentlig ganske åpenbar: Landegrenser og kystlinjer er, i motsetning til et spisebord, ikke rette linjer. De er derimot snirklete og svingende linjer som går i sikksakk. Dersom du gjør som med spisebordet og først bruker en grov målenhet, for eksempel hundre kilometer, vil du naturligvis måtte generalisere og «hoppe over» enkelte av snirklene i linja for å finne avstanden i luftlinje. Om du øker nøyaktigheten i målingen, vil du måtte ta med flere snirkler og svinger og lengden vil derfor øke. Richardson oppdaget at dette kunne man gjøre nærmest i det uendelige, noe som seinere har fått navnet «kystlinjeparadokset» eller Richardson-effekten.

Richardsons funn ble publisert i en tidsskriftartikkel i 1961, men ble for det meste oversett av samtidas vitenskapsmenn. Med unntak av én: Benoit Mandelbrot. I 1967 skrev den polsk-franske matematikeren Mandelbrot en berømt artikkel i tidsskriftet Science med tittelen «How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractal Dimension», der han bygde videre på Richardsons funn og utvidet det til en ny matematisk gren kalt fraktal geometri.

Fraktaler er geometriske objekter som er uregelmessige i alle målestokker. Det betyr at om du forstørrer en del av objektet, vil den forstørrede delen brytes ned i nye detaljer praktisk talt ad infinitum, for eksempel som når du måler kyst­linjer eller landegrenser.

Mandelbrot viste etter hvert at fraktaler var overalt i naturen. Du fant fraktaler i skoger, fjellkjeder, grønnsaker og skyer. Og ikke minst, de hadde helt andre matematiske egenskaper en rette linjer, punkter og kurver som man hadde operert med i klassisk euklidisk geometri i århundrer.

Fraktal dimensjon

Det virker kanskje åpenbart når det først blir forklart, men i tusenvis av år med matematiske oppdagelser var det ingen som stilte spørsmål ved om alle lengder kunne måles til et bestemt tall. En lengde var en lengde var en lengde.

Noe av grunnen til at det tok så lang tid å oppdage «kystlinjeparadokset», var antakelig at matematikere var for opptatt av «perfekte» geometriske figurer til å se at den virkelige verdens geometri hadde helt andre kvaliteter. Som Benoit Mandelbrot selv formulerte det: «Jevne former er veldig sjeldne i virkeligheten, men er ekstremt viktige i elfenbeinstårnet og på fabrikken.»

Mandelbrot raffinerte seinere ideen om fraktaler i boka «The Fractal Geometry of Nature» fra 1982 ved å introdusere konseptet fraktal dimensjon, som beskriver hvor fraktal en bestemt kurve er.

En rett linje har den fraktale dimensjonen 1, og jo mer snirklete en linje er, jo nærmere tallet 2 vil den være. For eksempel er Sør-Afrikas kyst veldig lite snirklete og derfor veldig lite fraktal, med en fraktal dimensjon på 1,02. Det betyr at om du «zoomer inn» og kartlegger kysten dobbelt så detaljert, vil lengden øke 2 prosent.

Norges kyst er derimot veldig snirklete med alle sine fjorder og har den svært høye fraktale dimensjonen 1,52. Det vil si at om du kartlegger Norges kyst dobbelt så detaljert, kan du forvente at tallet for kystlengden øker med 52 prosent.

Kystlinjeparadokset

Dermed er vi tilbake ved moloen som Martin Egger målte. Årsaken til at lengden på moloen ble dobbelt så lang, var altså at man i den nye målinga hadde lagt kystkonturen rundt hver eneste stein, mens man i den forrige måling hadde laget en rett strek langs molokanten. Dermed hadde lengden økt, slik kystlinje­paradokset tilsier.

Martin Egger i Kartverket kjenner til konseptet fraktaler og hva det har å si for måling av lengder.

– Det finnes ingen grense, man kunne egentlig konstruert kystkonturen rundt hvert eneste sandkorn.

Med kystlinjeparadokset friskt i minne kan det virke meningsløst å snakke om lengde på kysten uten å oppgi målestokken den er målt i. Martin Egger mener likevel at å oppgi en lengde på kysten, slik Kartverket gjør, har en verdi til hverdagsbruk.

– Men det er klart at hvis en matematiker går til verks, så vil det være sånn at disse tallene ikke er absolutte, sier han.

Han peker også på at det matematiske paradokset med kystlinjer ikke er så godt kjent, ved å vise til at mange av avisartiklene i 2011 skrev at det bare er Canada som har lengre kystkontur enn Norge.

– Men hvordan er den målt?

– Det er vanskelig å sammenligne kystkonturer fra forskjellige land. Man må først vite om detaljgraden og oppløsningen, sier Egger.

feature@klassekampen.no

Artikkelen er oppdatert: 10. april 2018 kl. 14.23